ΕΛΛΗΝΙΚΗ  ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ  ΕΤΑΙΡΕΙΑ

Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34
106 79   ΑΘΗΝΑ
Τηλ. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025e-mail : info [at] hms [dot] gr

www.hms.gr

Αθήνα 15 Οκτωβρίου 2018

Μαθηματικές διαλέξεις
Αίθουσα Διαλέξεων ΕΜΕ, Πανεπιστημίου 34

1η ΔΙΑΛΕΞΗ

Δευτέρα, 29 Οκτωβρίου 2018, 19:30-20:30

Σπύρος Κουρούκλης
Μια αθέατη πλευρά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Γύρω στο 1900 ο Frank Morley, ενώ εργαζόταν με περίπλοκες εξισώσεις, παρατήρησε ότι οι τριχοτόμοι των γωνιών ενός τριγώνου, πλησιέστερες στις πλευρές αντίστοιχα, τέμνονται στις κορυφές ενός ισοπλεύρου τριγώνου. Έκτοτε θεωρείται από τις πλέον συγκλονιστικές ανακαλύψεις στα μαθηματικά που αναφέρεται συνήθως ως θαύμα, μυστήριο ή μαγικό του Morley ενώ συμπεριλαμβάνεται στη λίστα «Τα 100 πιο εκπληκτικά θεωρήματα».
Η παρουσίαση θα επιχειρήσει να απαλλάξει την αξεπέραστη αίγλη του θεωρήματος από οποιοδήποτε υποτιθέμενο μυστικισμό ή μαθηματική ασάφεια. Αφού διευκρινίσει την παραπάνω διατύπωση, θα αποδείξει στην Ευκλείδεια Γεωμετρία το ακόλουθο πλήρες θεώρημα: Οι ίδιου τύπου τριχοτόμοι των γωνιών ενός τριγώνου, πλησιέστερες στις πλευρές αντίστοιχα, τέμνονται στις κορυφές ενός ισοπλεύρου τριγώνου. Τα παραγόμενα τρία ισόπλευρα έχουν παράλληλες πλευρές ενώ οι μη παράλληλες συναντώνται στα σημεία τομής τριχοτόμων πλησιέστερων σε μια πλευρά του τριγώνου. Έτσι οι τομές των τριχοτόμων, πλησιέστερων στις πλευρές, σχηματίζουν συνολικά 27 ισόπλευρα, εκ των οποίων 18 από τριχοτόμους και των τριών γωνιών. Πρόσφατα μάλιστα ανακαλύφθηκαν 18 ακόμη ισόπλευρα από τις τομές τριχοτόμων δύο γωνιών του τριγώνου.
Χρησιμοποιώντας ευρήματα της παραπάνω πρόσφατης εργασίας προκύπτει μια νέα απόδειξη του θεωρήματος Fermat-Torricelli, που αφορά την εύρεση του σημείου με το ελάχιστο άθροισμα αποστάσεων από τις κορυφές ενός τριγώνου.
Η παρουσίαση θα ολοκληρωθεί προτείνοντας σειρά ανοικτών προβλημάτων που προσκαλούν το μαθηματικό ενδιαφέρον για περεταίρω συναρπαστική εξερεύνηση.
 

2η ΔΙΑΛΕΞΗ

Δευτέρα, 5 Νοεμβρίου 2018, 19.30 με 20.30

Θανάσης Γακόπουλος
Πλαγιογωνιο Κανονικο Σύστημα Αξόνων στο Επιπεδο. Μελέτη.
Μαθηματικοι Τυποι. Εφαρμογές

Το πλαγιογώνιο είναι ένα σύστημα δύο ευθειών (άξονες) που τέμνονται υπό γωνία θ (0<θ<180°). Αρχή των αξόνων είναι το σημείο τομής αυτών. Γωνία του συστήματος είναι η γωνία των αξόνων.
Στην εργασία γίνεται μελέτη του κανονικού πλαγιογωνίου συστήματος στο επίπεδο, το οποίο ορίζουν οι άξονες αυτού. Η μελέτη περιορίζεται στην ευθεία. Οι κωνικές τομές και ο χώρος είναι στόχος της συνέχισης της μελέτης.
Η εργασία περιέχει συστηματοποιημένο κατάλογο Μαθηματικών τύπων, οι οποίοι αποδεικνύονται με θεωρήματα και σχέσεις της Γεωμετρίας και Τριγωνομετρίας. Το πλεονέκτημα της μεθόδου είναι ότι γίνεται αλγεβροποίηση των προβλημάτων, όπου έχουμε να συνδυάσουμε και να αξιοποιήσουμε λίγους σχετικά τύπους, κατά τρόπο μηχανικό και αλγεβρικό, σε αντίθεση με την πληθώρα προτάσεων που θα ήταν υποψήφιες από την Ευκλείδεια Γεωμετρία. Η επιλογή της κατάλληλης γωνίας του συστήματος είναι σημαντικό σημείο στην εφαρμογή του, γιατί έτσι αποφεύγεται σε μεγάλο βαθμό η πολυπλοκότητα των πράξεων. Από μαθηματικής άποψης η ιδέα είναι η ίδια με αυτή της αναλυτικής Γεωμετρίας.
Οι Μαθηματικοί τύποι του πλαγιογωνίου είναι γενικότεροι από τους αντίστοιχους που ισχύουν στο ορθογώνιο. Ωστόσο οι πρώτοι μεταπίπτουν στους δεύτερους, αν θέσουμε την τιμή της γωνίας θ (όπου αυτή υπεισέρχεται με τη μορφή του ημιτόνου ή συνημιτόνου) ίση με 90°. Συνεπώς το πλαγιογώνιο σύστημα εμπεριέχει το ορθογώνιο και η εφαρμογή των δύο συστημάτων μπορεί να γίνει, υπό τις ίδιες συνθήκες, ενιαία. Είναι ένα δυναμικό εργαλείο το οποίο δίνει λύσεις σε προβλήματα που, κατά περίπτωση, το ορθογώνιο το κάνει με σχετικά περισσότερο δύσκολο τρόπο. Η χρήση του πλαγιογωνίου γίνεται όπως ακριβώς γίνεται η χρήση του ορθογωνίου. Κλειδί στην εφαρμογή του είναι ο υπολογισμός και η γνώση των συντεταγμένων που υπεισέρχονται στις ασκήσεις.
Η μελέτη έχει άμεση εφαρμογή στην επίλυση σχετικών Γεωμετρικών προβλημάτων. Ορισμένα θεωρήματα της Γεωμετρίας και πλείστες εφαρμογές έχουν δημοσιευθεί σε Ελληνικά και διεθνή sites από τον μελετητή και άλλους Μαθηματικούς. Πιθανότατα έχει μεγάλο ενδιαφέρον για πρακτική εφαρμογή σε λογισμικά προγράμματα για γρήγορο υπολογισμό μεγεθών σε τομείς όπως η Γεωμετρία, Τοπογραφία, Μηχανική, συστήματα πλοήγησης κ.λ.π. Αρκετές εφαρμογές της εργασίας στην επίλυση ασκήσεων δημοσιεύθηκαν στο διεθνές περιοδικό RMM - Triangle Marathon 701-800 / ISSN-L 2501-0099 στα θέματα με α/α 708, 709, 712, 715, 717, 718, 719, 726, 727, 728, 729.
Θέλω να πιστεύω ότι εργασία συμβάλλει στην διεύρυνση της Μαθηματικής γνώσης.